1.一次函数(包括正比例函数)

最简单最常见的函数,在平面直角坐标系上的图象为直线.

定义域（下面没有说明的话,都是在无特殊要求情况下的定义域）：R

值域：R

奇偶性：无

周期性：无

平面直角坐标系解析式(下简称解析式):

①ax+by+c=0[一般式]

②y=kx+b[斜截式]

（k为直线斜率,b为直线纵截距,正比例函数b=0）

③y-y1=k(x-x1)[点斜式]

（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）

④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]

（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）

⑤x/a-y/b=0[截距式]

（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）

解析式表达局限性：

①所需条件较多（3个）；

②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；

④参数较多,计算过于烦琐；

⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线.

倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角.设一直线的倾斜角为a,则该直线的斜率k=tg(a).

2.二次函数：

题目中常见的函数,在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线.

定义域：R

值域：（对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a,正无穷）；②[t,正无穷）

奇偶性：偶函数

周期性：无

解析式：

①y=ax^2+bx+c[一般式]

⑴a≠0

⑵a＞0,则抛物线开口朝上；a＜0,则抛物线开口朝下；

⑶极值点：（-b/2a,(4ac-b^2)/4a）；

⑷Δ=b^2-4ac,

Δ＞0,图象与x轴交于两点：

（[-b+√Δ]/2a,0）和（[-b+√Δ]/2a,0）；

Δ＝0,图象与x轴交于一点：

（-b/2a,0）；

Δ＜0,图象与x轴无交点；

②y=a(x-h)^2+t[配方式]

此时,对应极值点为（h,t）,其中h=-b/2a,t=(4ac-b^2)/4a）；

3.反比例函数

在平面直角坐标系上的图象为双曲线.

定义域：（负无穷,0）∪（0,正无穷）

值域：（负无穷,0）∪（0,正无穷）

奇偶性：奇函数

周期性：无

解析式：y=1/x

4.幂函数

y=x^a

①y=x^3

定义域：R

值域：R

奇偶性：奇函数

周期性：无

图象类似于将一个过圆点的二次函数的第四区间部分关于x轴作轴对称

后得到的图象（类比,这个方法不能得到三次函数图象）

②y=x^(1/2)

定义域：[0,正无穷）

值域：[0,正无穷）

奇偶性：无（即非奇非偶）

周期性：无

图象类似于将一个过圆点的二次函数以原点为旋转中心,顺时针旋转

90°,再去掉y轴下方部分得到的图象（类比,这个方法不能得到三次

函数图象）

5.指数函数

在平面直角坐标系上的图象（太难描述了,说一下性质吧……）

恒过点（0,1）.联系解析式,若a＞1则函数在定义域上单调增；若0＜a＜1则函数在定义域上单调减.

定义域：R

值域：（0,正无穷）

奇偶性：无

周期性：无

解析式：y=a^x

a＞0

性质：与对数函数y=log(a)x互为反函数.

*对数表达：log(a)x表示以a为底的x的对数.

6.对数函数

在定义域上的图象与对应的指数函数（该对数函数的反函数）的图象关于直线y=x轴对称.

恒过定点（1,0）.联系解析式,若a＞1则函数在定义域上单调增；若0＜a＜1则函数在定义域上单调减.

定义域：（0,正无穷）

值域：R

奇偶性：无

周期性：无

解析式：y=log(a)x

a＞0

性质：与对数函数y=a^x互为反函数.

7.三角函数

⑴正弦函数：y=sinx

图象为正弦曲线（一种波浪线,是所有曲线的基础）

定义域：R

值域：[-1,1]

奇偶性：奇函数

周期性：最小正周期为2π

对称轴：直线x=kπ/2(k∈Z）

中心对称点：与x轴的交点：（kπ,0）(k∈Z）

⑵余弦函数：y=cosx

图象为正弦曲线,由正弦函数的图象向左平移π/2个单位（最小平移量）所得.

定义域：R

值域：[-1,1]

奇偶性：偶函数

周期性：最小正周期为2π

对称轴：直线x=kπ(k∈Z）

中心对称点：与x轴的交点：（π/2+kπ,0）(k∈Z）

⑶正切函数：y=tgx

图象的每个周期单位很像是三次函数,很多个,均匀分布在x轴上.

定义域：{x│x≠π/2+kπ}

值域：R

奇偶性：奇函数

周期性：最小正周期为π

对称轴：无

中心对称点：与x轴的交点：（kπ,0）(k∈Z）.

8.反三角函数：

y＝arcsin(x),

定义域[-1,1],

值域[-π/2,π/2]

1）y=arccos(x),

定义域[-1,1],

值域[0,π],

2）y=arctan(x),

定义域(-∞,+∞),

值域(-π/2,π/2),

函数性质公式arcsin(-x)=-arcsinx

arccos(-x)=π－arccosx

arctan(-x)=-arctanx

arccot(-x)=π－arccotx

arcsinx+arccosx=π/2=arctanx+arccotx

sin(arcsinx)=x=cos(arccosx)=tan(arctanx)=cot(arccotx)

9.复合函数：

y=f(μ)=f[φ(x)],

其中x称为自变量,μ为中间变量,y为因变量

定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数

y=f[g(x)]的定义域是：复合函数的导数D={x|x∈A,且g(x)∈B}

周期性：设y=f(u),的最小正周期为T1,

μ=φ(x）的最小正周期为T2,

则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2,任一周期可表示为k*T1*T2（k属于R+）

增减性：依y=f(x),μ=φ(x)的增减性决定.

即“增增得增,减减得增,增减得减”,可以简化为“同增异减”

10）初等函数

初等函数是由幂函数(powerfunction)、指数函数(exponentialfunction)、对数函数(logarithmicfunction)、三角函数(trigonometricfunction)、反三角函数(inversetrigonometicfunction)与常数经过有限次的有理运算（加、减、乘、除、有理数次乘方、有理数次开方）及有限次函数复合所产生、并且能用一个解析式表示的函数.

一般初等函数的导数还是初等函数,但初等函数的不定积分不一定是初等函数.初等函数的反函数不一定是初等函数.