作为一本思想史，它为柏拉图的“理型世界”注入了炫彩斑斓的活力。而数学的神秘，就在于它“不讲道理”的有效性和扩展性，以及作为一种哲学，在上帝和人类之间的摇摆不定。

符号是数学思想的精华所在。20世纪哲学的语言学转向，也再一次表明，当人类试图在基于不同认知背景的前提下实现“主体间客观”的交流并达成共识时，就不可避免地会遇到语言工具（这里指日常语言）本身所带来的系统误差。

之前在《孤独六讲》的书评里也提到，我们每一个人都是孤独的，只因我们的思想、意识被束缚于自己的身体之中，不得脱。为了实现不同思想的交流，必然要用到语言工具，而这日常语言的语法体系是不严格的。同样的话语每个人的理解都会有所差异。

要消除误会实现近乎完满的相互理解，语言，并不可少。作为日常语言的某种补充，数学语言必然是符号化、严格化的，尽管数学发展之初，关于很多符号的理解，依然停留在直觉的基础上。

可即使是朴素的数学观念，依然在最初帮助我们建立起了一整套“看似完整的”、“严格的”数学符号体系——欧几里得几何。至少它符合我们的直觉，它似乎“不证自明”。

在柏拉图和他的继任者眼中，理型世界充满了对现实世界的暗喻。尽管我们从未在生活中见到过严格的直线、圆，但依然会说，太阳是圆的，尺子是直的。这就是我们生活的现实世界——一个伴随着观察尺度的不同，伴随着观察工具的不同，伴随着观察角度的不同，而得到不同景象的世界。

甚至于我们的眼睛，也是一种带有“偏见”的工具：明明构成我们身体的分子、原子如此小，而分子与分子、原子与原子之间的空隙有那么大，可我们的眼睛，却能神奇地“忽视”那占据空间99.9%的微粒间空隙，而只看到那0.1%的实体粒子集合体！

与此相反的是，高频电磁波总能轻而易举地穿透我们的身体，仿佛那个身体所占据的空间是“空”的，这些粒子可看不到这个世界上有我们人类的存在。

这样的“现实悖论”数不胜数，它充分说明了，我们对现实世界的观察，以及基于观察的理解，往往很难做到真正的客观、准确。相反我们所使用的大部分概念，都是现实世界的某种程度的“近似”。是的在不同观察尺度下，需要使用不同的“近似”工具。

在认识世界的道路上，数学，作为人类思想的抽象产物，具有趋于严格化、符号化的特征。理型世界投下了阴影，我们循着影子去寻找洞口的光明。那是上帝的领域吗？至少，在面对最初的那几组公理时，人类是这样认为的，因为它们在直觉里似乎不可被证伪，而只有“上帝创造了数学”才能解释这种神秘性。

不幸的是非欧几何打破了这一长久的学科信仰。如果数学只是一种可以自行修改的游戏规则，如果理型世界也只是“人类眼中”的、带有“立场偏见”的index，那我们这一路走来，还需要寻求些什么？

这是有幸被智慧闪电劈中的我们必须面对的焦虑。智慧总是驱使着我们去寻求经验范围之外的“客观世界”，去探求这个世界的根本，去反思“我是谁”、“我为何在此”的意义。

智慧总是在寻求答案，永不停止。至于终点在哪里，我只想说，科学的尽头就是信仰。

思考数学的过程，实则是为了定位我们存在于世的那个坐标。