一，证明：[（a＋b）/2]^2-(a^2+b^2)/2=(a^2+2ab+b^2-2a^2-2b^2)/4

=-(a^2-2ab+b^2)/4＝-(a+b)^2/4,因为

(a+b)^2恒大于等于0，所以-(a+b)^2/4恒小于等于0，

即[（a＋b）/2]^2小于等于(a^2+b^2)/2。

二，证明：依题意得，要证2ab/(a+b)0，ab>0,只要证4ab-(a+b)^2<0,即-(a-b)^2<0,

因为a，b都是正数，且a不等于b，结论显然成立，所以2ab/(a+b)<根号ab。

三，证明：1.a分之1加b分之1的分之2就是a+b分之2ab，所以

a分之1加b分之1的分之2小于等于根号下ab（证明二稍改：a＝b）

2.根号下ab小于等于2分之a+b,(a+b)/2-根号ab＝（根号a-根号b）^2/2,（根号a-根号b）^2恒>=0,所以(a+b)/2>=根号

3.2分之a+b小于等于根号下2分之a方加b方，根号下2分之a方加b方-2分之a+b＝根号下（a-b)^2/4,因为（a-b)^2>=0,

所以2分之a+b小于等于根号下2分之a方加b方。

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